Time value of money: 현재 x만큼 투자하여 n시점에서 얼마만큼의 돈을 받을 때, 수익률/할인률을 계산
미래가치(future value)를 현재가치(present value)로 계산하자 (시점이 다른 value를 동일 시점으로 모으기)
r = required return, discount rate, interest rate, opportunity cost의 내용을 포함함
ri = Rf(Nominal Rf) -> (Real Risk free asset 이만큼은 받아야 겠다, Expected inflation) -> 경제 전반적으로 볼 때, 인플레이션 만큼은 받아야겠다 Ex) US Treasury는 Nominal Rf, 위험이 좀 더 크면 compensation인 premium 필요
Compensation for Risk: Default risk premium, Liquidity risk premium(환금), Maturity risk premium(만기일)
FV = PV*(1+r)^n -> compounding을 전제로, n기간동안 이자 r이 굴러가서 PV가 FV가 됨
Ex)r= 0.05,
FV1 = 100(1+0.05)^1 = 105
FV2 = 100(1+0.05)^2 = 사람이 계산하기 힘들어짐. BA2 Plus 재무계산기를 쓰자
CPT Enter ↑ ↓
2nd CF NPV IRR
N I/Y PV PMT
| CPT | ENTER | UP | DOWN | |
| 2ND | CF | NPV | IRR | |
| N | I/Y | PV | PMT | FV |
1) 소수점 4자리로 바꾸자: 2ND -> .(FORMAT) -> DEC=4.000 -> ENTER
2) FV2 = 1.05, yx,2,*100 = 110.25
-> 2년 투자했으니 원금 $100 + 1년이자 $5 + $5 + $5 * 0.05
3) FV5 = 1.05,yx,5,*100 = 127.6282
4) FV100 = 1.13, yx, 100, *100 = $ 20,316,287.42 -> compounding의 무서움
Ex) $10,000,000, r=0.09, N=15, 투자가 이루어지는 5년부터 15년까지 투자함 -> 실제로는 투자기간이 10년
FV = $10,000,000,*(1.09)^10
rs는 이자 세팅의 빈도, 따라서 FV = PV * (1+rs/m)^N*m
Ex) 1년 r=0.08, $10,000 * (1+0.08) = $10,800
Ex) 3개월 r=0.08, $10,000 * (1+ 0.08/4)^1*4 = $10,824.3
Continuous compounding
FV = PV * e^rs*n
$1, rs=0.08 -> 0.08*1 -> 2ND, Ln(e^x) -> 1.0833 -> *$1 -> $1.0833
Frequency가 달라도 1년에 한 번 정산한다고 가정하기
Effective Annual Rate:
Ex) A은행 1년에 한 번 정산: rs=0.08, EAR = 0.08
Ex) B은행 1달에 한 번 정산: rs=0,08, EAR = (1+0.08/12)^12 = .00830
Ex) EAR = (1 + rs/2)^2 - 1 = 0.0816
(1 + rs/2)^2 = 1.0816
1 + rs/2 = 1.0816^1/2
1.0816, yx, 0.5 = 1.04
1 + rs/2 = 1.04
rs/2 = 0.08
rs = 0.08
The future value of a series of cash flow
동일한 금액이 연속적, 반복적으로 발생 -> Annuity, payment(PMT),
정기예금, 보험납부 등 년별로 발생 -> ordinary, annuity
기초에 동일한 금액이 연도말이냐, 연도초냐? Annuity due
동일한 금액을 무한한 기간동안 주겠다 -> perpetuity, infinite
Ex) 투자기간 n = 5,
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
| A | A | A | A | A |
A + (1+r) + (1+r)^2 + (1+r)^3 + (1+r)^4 = Future value of annuity
A= $1,000, r= 0.05, N=5
재무계산기 입력: 5,N,5,I/Y,1,000,PMT,0,PV,CPT,FV -> $-5,256.3285
Example 6-7
DC플랜에 매년 20,000유로 투자 -> Stock index fund에 30년간 투자, r=0.09, FV?
1) Time line 그리기
| 0 | 1 | 2 | .... | 30 |
| 0 | 20000 | 20000 | 20000 |
I/Y = 0.09, N=30, PV = 0, PMT = 20,000
4.2 Unequal Cash flow
1) 계산해서 직접 더하기
2) CF1, CF2...들을 r로 discount 해서 NPV 전환 후 미래가치로 전환 -> Discounted Cash Flow
PV = FV / (1+r)^N = FV * 1/(1+r)^n = FV * (1+r)^-N
Ex) N=6, FV= $100,000 r=0.08 PV?
1) PV= $100,000/(1+0.08)^6 = $100,000 * 1.08, yx, 6, +/-로 재무계산기에서 계산
= $63,016.9627
Ex 6-9) 10년 뒤에 계좌에 $100,000달러가 있게 하려면, PV는 어떻게 되는가?
$100,000(1+0.08)^-10 = $46,319.3488 만큼 가지고 있으면 된다
현재가치가 클 수록, r이 클 수록, n이 클 수록, 이자 정산횟수가 많을 수록 작은 돈을 넣어두면 된다.
Ex) 6-10: 10년 뒤에 500만 캐나다 달러를 일시급으로 지불해야 함 -> 어떻게 확보하지?
r=0.06, monthly compound
FV = $5,000,000
N= 10년 * 12 month = 120
r = 0.06 / 12 = 0.005
= $5,000,000 * (1+0,06/12)^-120
= $2,748,163.667
Section 6
Present value of series of cashflow
ordinary, annuity, annuity due, perpetuity
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
| 1000 | 1000 | 1000 | 1000 | 1000 |
$1,000/(1+0,12) + $1,000/(1+0.12)^2 + .... + $1,000/(1+0.12)^5
N=5
I/Y= 12
PV= ?
PMT= 1,000
FV= 0
PV= 3,604.7762
Ex)
Monthly payment $100, N=4, I/Y= 12%, FV=0
만약 첫 달부터 $100을 납입했다?
$303.7349는 annuity due가 아님 -> *(1+0.12) = 340.18313
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ... | 18 | 19 | 20 |
| 200,000 | 200,000 | 200,000 | 200,000 | 200,000 | 200,000 | ... | 200,000 | 200,000 | 200,000 |
Ordinary
N=20
I/Y=7
PMT=200m000
FV=0
PV= $2,118,802.849
여기서 *1.07 해주면 annuity due로 바뀜
Ordinary Annuity, Annuity due
연도말 PV, FV, PMT를 Annuity due로 바꾸려면 (1+r)곱함,
Ex) 연금부채를 확정하기 위해 30년동안 얼마?
0, 1, 2,...10,11,12.....39,40
10년째부터 $1,000씩 30번
9년차 $0
10년차 $1,000
...Value9: N=30, I/Y=5, PMT=1,000, FV=0
PV=15,372.2451이 9년차에 있으면 1,000씩 넣으면 도니다
9년차의 금액을 0년차의 PV로 바꾸기 위해서는 *(1.05)^-9
Perpetuity
0, 1, 2, ... N=무한대
PV = A/r
r=0.06, $100
Vps = $5 / 0.06 = $83.33
무한한 가치가 있는것 아닌가? 왜 가치가 저거밖에 없지?
투자자에게는 현재의 소비가 중요한데, 100년 200년 뒤에 어떤 의미가 있는지를 판단했을 때 현재가치로 환산
Ex) 4년차부터 10년차까지 7회 $6씩 납입, r=0.05
3년차 V3: N=7, I/Y=5, PMT=$6, FV=0,
PV= 34.7182
0년차의 PV V0= 34.7182*(1.05)^-3
Ex) PV of unequial cash flow
1년차부터 $1,000, $2,000, $4,000, $5,000, $6,000씩 5년까지 납입, r=0.05
PV= $1,000/(1+0.05) + $2,000/(1.05)^2 + ... + $6,000/(1.05)^5
재무계산기로 계산하자
CF버튼 -> CFo=0 -> 아래화살표 -> C01 -> $1,000 엔터 -> 아래화살표 -> F01 = 1(앞의 C01이 한번 발생) -> 아래화살표 -> C02 = 2,000 -> F02 = 1 -> C03 = 4,000 -> F03 = 1 -> C04 = 5,000 -> F04 = 1 .... -> NPV 누름 -> 할인률 I = 5 엔터 -> 아래화살표 -> NPV = 0라고 되어있음 -> 컴퓨트 누름 -> $15,036.4597 뜸 -> 이러한 연도별로 모아진 Cashflow들이 모아져서 현재 시험의 PV로 바뀜
이렇게 구한 PV의 5차년도 이후의 미래가치는 얼마? PV * (1.05)^5 = 19,190.7563
11P 6-11 활용
섹션7 미지수 찾기
r, N, PMT가 없음 -> 확인하고 구하기
Ex7.1: r=growth rate, N=5, PV=100, FV=200, 내재수익률?
1) 단순계산 g= (200/100)^1/5 - 1 = Geometric mean = FV/PV^1/N - 1 = 0.1487
2) 재무계산기: N=5, I/Y= ?, PMT=0, PV=-100, FV=200 = 14.8698
7.2
r=growth rate, N=? I/Y=7, PV=-1 FV=2
N = 10.2448 = 10년 조금 넘으면 2배로 가치가 올라감
매년 불입금 PMT 알아내기
$120,000 집, 투입되는 내 돈 equity $20,000 + 빚 debt $100,000 모기지론
0시점에서 $100,000 PV, N=30년, 매달 지급 monthly, Frequency는 N * 12 = 360기간
r=annual term 0.08 / 12개월 = 0.00666,
FV=0
매월 얼마 납부해야 하나?
N= 360
I/Y=6.666
PV=-$100,000
PMT=?
FV=0
계싼하면 매월 733.7925만큼 지불
Page23
Example 6-21
대상자 나이 21세, 22세부터 63세까지 일하고 은퇴함
| 나이 0 | 1 | 2 | ... 15 | 16 | 17 | ...41 | ... | 63 | |
| 연도말 0 | $2 | $2 | $2 | A | A | 100 | 100 | ... | |
15년까지의 r=8%
N=15
PMT=$2
FV=$54.3042
PV=0
40세부터 60세까지
N=20
I/Y=8
PMT=$100
PV=981.8147
FV=0
이것의 의미는 54.3이라는 가치와 981.8이라는 가치는 0,1,2년 흐르다가 25년쨰의 가치로 새로 환산됨
PV=54.3, FV=981.8로 보면 추가 저축을 얼마를 해야 40년 뒤에 981,8이라는 가치를 만들 수 있는가?
PMT를 모름
N=25
I/Y=8
PV=-54.3
PMT=$8.3431
FV=981.8
지금부터 18년 뒤에 대학생활을 시작함
Tuition이 필요함
Current annual cost: 매년 $7,000원 필요, but 18년 뒤의 inflation 생각했을 때 매년 5% 상승
r=6%
대학 등록금을 위해 매년 얼마나 납입해야 하나?
0 1 2 ... 17 18(이때 대학 들어감) 19 20 21(4회 등록금 필요)
$7,000(1.05)^18 + $7,000(1.05)^19 + ... + $7,000(1.05)^21 = $16,846.3346 + $17,688.65 + $18,573.839 + $19,501.7381 = $72,610.5617
CF누르기 -> 아래화살표 -> CF0=0 -> C01 = 16,846 -> F01 = 1(Frequency) -> C02 = ..... -> NPV -> I=6% -> 아래화살표 -> NPV -> CPT NPV = $62,677.7713
지금 7,000 달러인 녀석들의 미래 가치가 16,846 이상이 된다 -> 나는 FV 62,677.7713을 위해서
N=17
I/.Y=6%
PV=0
PMT=? 2,221.6013
FV=62,677.7713
8년 뒤 은퇴예정이라 8년째 FV=$2,500,000 필요함
PV= $1,200,000이고, r=7%, 기초에 불입하므로 0년 A, 1년 A,... 8회차 A
N=8
I/Y=7
PV=1,200,000(-)
FV=2,500,000
PMT=42,708.0912
하지만 우리는 기초에 불입하므로, ordinary이므로 조금 더 적게 넣어도 됨
42,708.0912/(1.07) = 39.914.블라블라
4번
$75,000가 6년 뒤에는 얼마가 될까?
표시금리 7%, quaratly
FV=75,000
6년 뒤의 가치: 75,000*(1+0.07/4)^6년*4 = $113,733.2090
1년 365일, 52주로 가정, PV = FV/(1+r)^n = 100,000 * (1+0.025/52)^-52
1달 뒤에 월 $2,000 영구적으로 받기(PV=PMT/r = 2,000/(0.06/12)= $400,000 vs 일시불 $350,000 받기
annual discount = 6%, monthly
0년 ~ 17년
18년 ~ 21년동안 매년 $50,000 지급
r=6%
V17을 ordinary due로 계산해서 1+r 계산한 후 PV
V18 = annuity due로 전환한 후 PV
N=4
r=6
PMT=50,000
PV=173,255.2806 (18년째 Value, annuity due) -> V17이므로 1.06 곱해줘야 함 -> 183,650 임
FV=0
PV=183,650*(1.06)^17
R7 DCF application
기업의 capital budgeting: Debt financing(rd*(1-tax), cost of debt) + Equity financing(re, cost of equity) -> 목표인 target debt and target equity (WACC, weighted average CC), 일반적으로 r=10%
100의 메인 투자금이 필요할 때, 영업자산에 투자할거냐 말거냐를 결정
0년 1년 2년 3년 4년
-100 30 20 40 40 -> After tax cashflow
Operating cash flow A
각 수익들의 현재가치 PV = $30/(1.1) + ... _ $40/(1.1)^4
1)NPV모델: CF -> CF0 -> -100 -> ... -> NPV= $101.1748 - $100 = $1.1748
투자 해야한다 -> NPV $1.1748은 확정된 금액이 아니고 암묵적으로 높은 확률로 가능... 장부 상에서 안 나타남
2) IRR 계산
P0 = 100을 투자하는 프로젝트의 내재가치?
(1+IRR) + (1+IRR)^2 + .... + (1+IRR)^n
IRR은 Internal Rate of return, 내부수익률, 이 프로젝트의 고유한 배당, 가격 등
Ex) 5년 만기 채권 프로젝트, 0 1 2 3 4 5년
Coupon rate = 5%, 채권가격 P0= $950, YTM = 6.5%라는 뜻은, $950을 들고 만기까지 들고 갔을 때 나오는 이자율
하지만, 상황이 바뀌는데 어떻게 예상가능? 프로젝트의 NPV가 0보다 크면 투자해야 한다고 하지만 NPV와 IRR의 예측이 다르면 NPV를 선택하라!!!
7-3
삼성전자 투자계획,
0년: $1,000억
투자기간: 5년
$294.8억씩 5년
CF -> CF0= -1,000 -> CF1 = 294.8 -> F0 = 5회 -> CPT -> I = WACC = r= 11 -> CPT -> NPV = 1,089.5504 - $1,000 = 89.5504